リストの最大値（最小値）のindexを取得する

NumpyのArrayだと、argmaxを使って、最大値のindexを取得できる。
（ただし、最大値が重複して存在する場合は、一番小さいindexを返す仕様になっている）
numpy.argmax — NumPy v1.10 Manual

PythonのListにも同じような関数が用意されているかと思ったんだけど、ないみたいなので、書き方を調べてみた。
例えば、以下のようなListがあるとする。

list_name = [2, 3, 4, 8, 3, 1, 3, 5, 7, 8, 3, 2]

最大値は8で、最大値の位置するindexは3と9である（最大値には重複がある）。

Numpyのargmaxと同様に、重複がある場合に一番小さいindexを返したい場合には、以下のような書き方がある。

print list_name.index(max(list_name))
print max(enumerate(list_name), key=lambda x: x[1])[0]
print max(xrange(len(list_name)), key=lambda i: list_name[i])
import operator
print max(enumerate(list_name), key=operator.itemgetter(1))[0]
print max(zip(list_name, range(len(list_name))))[1]

一番小さいindexの3を返してくれる。
最後のやつだけ、大きいindexを返してくるが理由は良く分からん。

一部のindexだけでなく、全てのindexを返したい場合には、

print [i for i, x in enumerate(list_name) if x == max(list_name)]

[3, 9]

とリスト内包表記を使って、全ての最大値のindexを求めることが出来る。

いろいろ書き方がありましたが、速度などは比較してないです。
Ref:
リスト内の最大値を見つける - Screaming Loud
python - How to find all positions of the maximum value in a list? - Stack Overflow
python - Pythonic way to find maximum value and its index in a list? - Stack Overflow

Octave

とある論文のsupplemental materialにあったMATLAB（線形代数のパッケージを詰め込んだ有料ソフト）のコードを動かしたかったので、Octave（MATLABと互換性のある無料ソフト）をインストールして使ってみた。
MAC OSX（Yosemite）へのインストールはhttps://kiskeyix.org/articles/605を参考にした。
以下で、pythonとの比較と自分用につまづきやすいポイントのメモを。

pythonと同様にインターラクティブなモードで実行する方法と、ファイルに保存して実行する方法（拡張子は.mとする）がある。
インターラクティブな方の使い方は、pythonとほとんど同じ（terminalからpython or octaveと叩いて入る）。
ファイルに保存して実行する場合はpythonと同様に、terminalでファイルを置いているフォルダまで移動して"octave file_name.m"とする方法の他に、インターラクティブなモードでfile_nameとタイプして実行する方法がある。その際、インターラクティブなモードでcdでファイルを置いているフォルダまで移動する。

また、pythonと同様にあるファイル（pythonでいうモジュール）に保存した関数を別のファイル（スクリプトファイル）から読み込んで使うことができる。ただし、その仕様が結構違う。
pythonの場合は、あるファイルmy_module.pyに保存した関数my_func()を使うには、実行するファイルで

import my_module
my_module.my_func()

とします。
もちろん、一つのモジュールファイルの中に幾つかの関数を入れることも出来た。

一方、Octaveでは、スクリプトファイルはpythonとほとんど同じだが、呼び出す関数を保存しておくファイルは関数mファイルと呼ばれ、以下のような制約がある（どちらも拡張子は.m）。
関数名とファイル名は同じでないとダメで、その中身は関数の定義から始める。
関数名とファイル名の名前が一致していないと、

warning: function name 'func_name' does not agree with function file name '/Users/uesr_name/Desktop/test/file_name.m'

とエラーがでる。
また、関数mファイルを実行することはできない（pythonの場合は.pyファイルは実行されれば、スクリプトファイルとして扱われ、importされればモジュールとして扱われていた）。
関数mファイルなのか、スクリプトmファイルなのかは、ファイルの中身が関数の定義で始まるのか、そうでないのかによって決まる。
すなわち、

function y = func_name(x)
    y = x + 1;
end

みたいな感じで、functionで始まるかどうかで決まる。
従って、スクリプトファイルの中で関数を定義するのに、ファイルの一行目から関数を定義しようとすると、関数mファイルとみなされてしまって、実行する際にエラーがでる（僕はここでつまづいた）。
例えば、上のコードをfunc_name.mというファイルの保存して実行しようとすると、

error: 'x' undefined near line 2 column 13

とエラーがでる。

スクリプトmファイルから関数mファイルを呼び出すには、例えば、上の関数だと、

a = 1;
b = func_name(a);
disp(b);

とする。
ここで、どのファイルから関数を呼ぶか指定していないが、上に書いたように、関数名と関数mファイルの名前は一致させているので、スクリプトファイルと同じフォルダに関数mファイルをおいておけば自動的に探してくれる。

Ref:
http://www.arc.hokkai-s-u.ac.jp/~kusiyama/Inf1_Matlab/Grammar_4.htm
データ解析ツールoctaveを語ろう Part 2

Octaveのスクリプトmファイルと関数mファイルの仕様は、pythonの使用を知っていると、不便に感じてしまう（一つの関数mファイルに複数の関数を定義できないのと、同じ.mファイルでスクリプトmファイルと関数mファイルの両方の機能をもたせられない）。

行列のランクと固有値の関係

行列のrankとnonzeroの固有値の関係について、すぐに忘れるのでメモしておく。
結論から先に書くと、一般の正方行列Aについて、

rank A ≧ Aの（重複度も含めた）nonzeroの固有値の数

が成り立つ。
特に、対角化可能な行列の場合には

rank = nonzeroの固有値の数

が成り立つ。
以下で、証明を書いておく。

pythonでフィッティングをする

pythonでfittingをする方法。

例えば、

というをパラメータとする関数でデータ点を

が最小になるようにfittingしたいとする（最小二乗法）。
scipy.optimizeのcurve_fitを使うのが楽（scipy.optimizeにはleastsqという関数もあり、こちらでも同じことができるが、curve_fitの方が分かりやすい）。

import numpy as np
import scipy.optimize
import matplotlib.pylab as plt

# data which you want to fit
xdata = np.array([0.0,1.0,2.0,3.0,4.0,5.0,6.0])
ydata = np.array([0.1,0.9,2.2,2.8,4.2,5.9,7.4])
# initial guess for the parameters
parameter_initial = np.array([0.0, 0.0, 0.0]) #a, b, c
# function to fit
def func(x, a, b, c):
    return a + b*x + c*x*x

paramater_optimal, covariance = scipy.optimize.curve_fit(func, xdata, ydata, p0=parameter_initial)
print "paramater =", paramater_optimal

y = func(xdata,paramater_optimal[0],paramater_optimal[1],paramater_optimal[2])
plt.plot(xdata, ydata, 'o')
plt.plot(xdata, y, '-')
plt.show()

xdata, ydataはfittingしたいデータ点（上の例では手で作ってるが、普通は実験などで得られる）。
parameter_initialはパラメータの初期値（なくてもいい）。
funcがfittingする関数で、第一引数がxで、第二引数以降がパラメータ。返り値はy。
paramater_optimalがfittingで最適化されたパラメータで、covarianceは共分散。

結果は

paramater = [ 0.14761905  0.70357143  0.08452381]

関数で複数の返り値を返す方法

pythonにおいて関数で複数の値を返すと、デフォルトではタプルになる。

def f_tuple(x):
  plus = x + 1
  cubic = x ** 3
  return (plus, cubic)
result = f_tuple(2)
print result[1]

returnの後の(plus, cubic)はカッコをのけても同じ動きをする。
また、受け取る時に、plus, cubic = f_tuple(2)のように受けても良い。

変数が少ない場合には上の書き方でよいが、返す値の数が多くなると、どれがどの返り値か分からなくなる。
上の例ではresult[1]で３乗した結果の値を取り出しているが、インデックスで指定するやり方だと、その要素が何の値なのか分かりにくい。
そこで、タプル以外で返り値を返すことを考えてみる。

Named tuple

pythonの組み込みのコンテナ型（=コレクション型）にはリスト、タプル、ディクショナリがある。
この記事では、名前付きタプルというコンテナ型を紹介したい。（名前つきタプルはクラスの書き方をふんだんに使っているので、クラスを知らない人はクラスを先に勉強した方がいいと思います。この記事でもクラスの基本的なことは前提知識としています。）
名前付きタプルはタプルの子クラスで、インデックスだけでなく、クラスのように変数名（ドット表記）でも要素にアクセスできるコンテナ型です。

使用例

例えば、以下のように使用できる。

from collections import namedtuple
from math import sqrt

Vector = namedtuple('Vector', 'x, y')
vec1 = Vector(x=1.0, y=5.0)
vec2 = Vector(2.5, 1.5)
distance = sqrt((vec1.x-vec2.x)**2 + (vec1.y-vec2.y)**2)
print "distance =", distance

使用するには、collectionsからimportする必要がある。
namedtuple()はクラスを作る関数で、引数はクラス名(慣習として、クラス名は大文字で始める)、要素（インスタンス変数）の名前。
要素の名前の部分は、'x y'や['x', 'y']のように書いてもよい。
また、要素の呼び出しはsqrt((vec1[0]-vec2[0])**2 + (vec1[1]-vec2[1])**2)と、普通のタプルのようにインデックスでも出来る。

長所

いいところ：

• タプルより要素の取り出しが分かりやすい（ドットを使ったオブジェクト的な書き方が出来る）。
• 辞書より高速でメモリが節約できる（メモリの使用量は普通のタプルと同じ）。

わるいところ：

• import correctionがいる。

普通のタプルのような使い方もできるので、元々、普通タプルで書いていたコードを書き換えずにnamed tupleに、一部だけをnamed tupleにすることも出来ます。

numpyの型

自分用のメモにまとめておく。

numpyの基本的な型は以下の５つ。

• 真偽値 (bool),
• (符号付き）整数 (int)
• 符号なし整数 (uint)
• 浮動小数点数 (float)
• 複素数 (complex)

ただし、（bool型を除いた）データ型はそれぞれ異なるサイズがああります。
たとえば、int型なら、

• numpy.int8
• numpy.int16
• numpy.int32
• numpy.int64

4種類があります(intの後の数字はbit数を表しています)。単にnumpy.intとすると、環境に依って、numpy.int32もしくはnumpy.int64を表します（最近のPCだと、ほとんどnumpy.int64になっていると思います）。
同様に、uint,float,complexにも、異なるサイズのものがあり、単にnumpy.floatやnumpy.comolexとすると、それぞれ、numpy.float64やnumpy.complex128を表します。

Pythonのビルトインにもint, float, complexがありますが、numpy.int(=numpy.int32 or numpy.int64), numpy.float(=numpy.float64), numpy.complex(=numpy.complex128)はこれらと同じもののようです。
一方、numpy.int16やnumpy.float128などは、対応するpythonの型はありません。
numpyの中では、int, float, complexと書いても、numpy.int, numpy.float, numpy.complexと書いても問題ありませんが、たぶん、前者のように書いた方が良いと思われます。もちろん、ビルトインと違うサイズを使いたいときは、numpy.float128のように書く必要があります(pure pythonのfloat128は存在しません)。

import numpy as np

print np.array([1], dtype=int).dtype #int64 or int32
print np.iinfo(np.int64)

print np.array([1], dtype=float).dtype #float64
print np.finfo(np.float64)

print np.array([1], dtype=complex).dtype #complex128

dtype=floatの部分は上記の説明のように、dtype=np.floatと書いても、dtype=np.float64と書いても同じです。